Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1）．
（Ⅰ）当（$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$）⊥（$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）时，求x的值；
（Ⅱ）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$=（1+2x，4），$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2-x，3），由（$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$）⊥（$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得（$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$）•（$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，解出即可得出．
（II）＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$＞0，且不能为同方向共线．

解答 解：（I）$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$=（1+2x，4），$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2-x，3），
∵（$\overrightarrow{a}$+$2\overrightarrow{b}$）⊥（$2\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），∴（1+2x）（2-x）+12=0，解得x=-2或$\frac{7}{2}$．
（II）＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$＞0，且不能为同方向共线．
∴x+2＞0，解得x＞-2．
由2x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，舍去．
∴x的取值范围是$（-2，\frac{1}{2}）$∪$（\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．