Question

19．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，$2\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，则$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得BC为圆O的直径，画出图形，求出AC长度及$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角，代入投影公式求解．

解答 解：∵$2\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
则BC为圆O的直径，如图：

∵|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，∴△OAB的等边三角形，
则OA=OB=AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
∴$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$夹角是30°，
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影是|$\overrightarrow{CA}$|cos30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．