Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在线段A₁B₁上，且

A1P

=λ

A 1B1

（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（2）当λ=

1

2

时，求直线PN与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（1）以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明无论λ取何值，总有AM⊥PN．
（2）求出

PN

和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线PN与平面ABC所成角的余弦值．

解答： （1）证明：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知：A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），M（0，1，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，0），

A1P

=λ

A1B1

=（λ，0，0），

AP

=

AA1

+

A1P

=(λ，0，1)，

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)，…（4分）
∵

AM

=（0，1，

1

2

），∴

AM

•

PN

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴无论λ取何值，总有AM⊥PN．…（6分）
（2）解：λ=

1

2

时，P（

1

2

，0，1），

PN

=(0，

1

2

，-1)，
由题意知平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)…（8分）
设α为PN与面ABC所成角，
则sinα=|cos＜

PN

，

n

＞|=|

-1

1+ 1 4

|=

2 5

5

，…（12分）
∴cosα=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
∴直线PN与平面ABC所成角的余弦值为

5

5

．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．