Question

【题目】已知函数（）．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，（0，），恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）时，在（0，）上没有极值点；当时，在（0，）上有一个极值点.（2）

【解析】

（1）首先求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况，讨论的极值点个数.

（2）利用求得的值，将不等式分离常数，转化为，构造函数利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得实数的最大值.

（1）的定义域为（0，），

.

当时，在（0，）上恒成立，函数在（0，）上单调递减.

∴在（0，）上没有极值点.

当时，由，得；

由，得，

∴在（0，）上递减，在（，）上递增，即在处有极小值.

综上，当时，在（0，）上没有极值点；

当时，在（0，）上有一个极值点.

（2）∵函数在处取得极值，

∴，则，从而.

因此，

令，则，

令，得，

则在（0，）上递减，在（，）上递增，

∴，即.

故实数的最大值是.