Question

5．已知曲线C₁：y=ax³-6x²+12x（a≠0）与曲线C₂：y=e^x．若曲线C₁有极值，则a的范围是a＜1且a≠0；若曲线C₁和C₂在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为-$\frac{1}{3e}$．．

Answer 1

分析 ①先求出函数的导数，结合一元二次方程的根的判别式，得到不等式，解出即可；
②分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．

解答 解：①由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
若曲线C₁有极值，则3ax²-12x+12=0有两个不相等的实数根，（a≠0），
∴△=144-4•3a•12＞0，解得：a＜1；
②由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
∴y′|_x=1=3a，
由y=e^x，得y′=e^x，
∴y′|_x=1=e．
∵曲线C₁：y=ax³-6x²+12x与曲线C₂：y=e^x在x=1处的切线互相垂直，
∴3a•e=-1，解得：a=-$\frac{1}{3e}$．
故答案为：a＜1且a≠0，-$\frac{1}{3e}$．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，考查二次函数的性质，属于中档题．