Question

1．已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=$\sqrt{2}$，M为线段BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MF∥平面BED；
（Ⅱ）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD的中点G，连结MG，EG，通过证明四边形EFMG是平行四边形得出MF∥EG，从而有MF∥平面BED；
（Ⅱ）以O为原点建立空间坐标系，求出平面BED和平面FBC的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；
（Ⅲ）通过计算法向量与$\overrightarrow{BF}$的夹角得出直线BF与平面BED所成角．

解答 证明：（I）取BD的中点G，连结MG，EG，
∵M为线段BC的中点，G是BD的中点，
∵MG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又CD$\stackrel{∥}{=}AB$，EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GM，
∴四边形EFMG是平行四边形，
∴MF∥EG，
又MF?平面BED，EG?平面BED，
∴MF∥平面BED．
解：（II）过E作EO⊥AD，垂足为O，则O为AD的中点，
∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE⊥AB，OE?平面EAD，
∴OE⊥平面ABCD，
过O作ON⊥AB，垂足为N，则ON⊥OM，
以O为原点，以ON，OM，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则E（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，2$\sqrt{2}$，0），G（0，$\sqrt{2}$，0），
B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），F（0，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{MF}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
平面BCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}-\frac{3\sqrt{2}}{2}{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{-\sqrt{2}{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{2}=0}\\{-\sqrt{2}{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=y₂=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m，}\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$，
设平面BED与平面FBC所成角为θ，则|cosθ|=$\frac{1}{4}$，∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
解：（III）$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设直线BF与平面BED所成角为α，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴直线BF与平面BED所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．