Question

12．已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+a．
（1）设h（x）=xf（x），求h（x）的最小值；
（2）若曲线y=f（x）与y=g（x）仅有一个交点P，证明：曲线y=f（x）与y=g（x）在点P处有相同的切线，且$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出h'（x）=（x+1）e^x，利用导数性质能求出x=-1时，h（x）取得最小值$-\frac{1}{e}$．
（2）设t（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-a，则$t'（x）={e^x}-\frac{1}{x}=\frac{{x{e^x}-1}}{x}（{x＞0}）$，推导出存在${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得T（x₀）=0，求出t（x））的最小值为$t（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-a=0$，由此能证明曲线y=f（x）与y=g（x）在P点处有相同的切线，并能求出$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x，∴h（x）=xf（x）=xe^x，
∴h'（x）=（x+1）e^x，
当x＜-1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞-1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故x=-1时，h（x）取得最小值$-\frac{1}{e}$．
证明：（2）∵g（x）=lnx+a．
∴设t（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-a，则$t'（x）={e^x}-\frac{1}{x}=\frac{{x{e^x}-1}}{x}（{x＞0}）$，
由（1）得T（x）=xe^x-1在（0，+∞）单调递增，又$T（{\frac{1}{2}}）＜0$，T（1）＞0，
∴存在${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$使得T（x₀）=0，
∴当x∈（0，x₀）时，t'（x）＜0，t（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，t'（x）＞0，t（x）单调递增，
∴t（x））的最小值为$t（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-a=0$，
由T（x₀）=0得${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$，
∴曲线y=f（x）与y=g（x）在P点处有相同的切线，
又$a={e^{x_0}}-ln{x_0}$，∴$a=\frac{1}{x_0}+{x_0}$，
∵${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，∴$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查曲线y=f（x）与y=g（x）在点P处有相同的切线，且$a∈（{2，\frac{5}{2}}）$的证明，考查导数性质、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．