Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{4-{2}^{-x}，x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（2x²+x）=a恰有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是[2，3]．

Answer 1

分析 由分段函数的图象以及换元的方法，以及二次函数的图象和性质，得到a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{4-{2}^{-x}，x≤0}\end{array}\right.$，
由函数f（x）的图象得，f（x）=a恰有3个不同的实数根时，
需满足2≤a≤3，
∴令t=2x²+x，
∴t≥-$\frac{1}{8}$，且除去顶点之外，每个t对应2个x值．
∵方程f（2x²+x）=a恰有6个不同的实数根，
∴等价于f（t）=a恰有3个不同的实数根，
∴f（t）=a恰有3个不同的实数根时，需满足2＜a≤3．
故答案为：（2，3]．

点评 本题考查分段函数的图象，换元思想，以及二次函数的图象和性质．