Question

已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较的大小（n∈N*且n≥2，e是自然对数的底数）．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
∵函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，∴
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②当a＞0时，由f'（x）＜0得，由f'（x）＞0得x＞，
∴函数f（x）在区间（0，）上是减函数；函数f（x）在上是增函数
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间上恒成立，即在区间上恒成立
令，只需g（x）在区间上的最小值g（x）_min＞a
即可求导函数当时，g'（x）＞0，g（x）在上单调递增；
当1＜x＜2时，g'（x），＜0，g（x）在（1，2）上单调递减
∴g（x）在区间上的最小值是与g（2）中的较小者
∵．
∴
∴
∴g（x）在区间上的最小值是
∴a＜2﹣2ln2∴实数a的取值范围为（﹣∞，2﹣2ln2）；
（Ⅲ），证明如下：
据（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值
∴f（x）=x﹣1﹣lnx≥f（1）=0，
∴lnx≤x﹣1
故当n∈N*且n≥2时，
                                 =
∵
∴＜
∴
∴