Question

18．在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C₁上任意一点，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值为8．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设椭圆C₂：$\frac{{2{x^2}}}{a^2}+\frac{{2{y^2}}}{b^2}=1，Q（{{x_0}，{y_0}}）$为椭圆C₂上一点，过点Q的直线交椭圆C₁于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C₁于E，F两点．
（i）求证：直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2；
（ii）当Q在椭圆C₂上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C₁上任意一点，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，Q（x₀，y₀）为椭圆E上一点，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，利用点差法求出直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2，由此能求出直线AB的方程．
（Ⅲ）联立直线EF与椭圆C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}x-{x}_{0}y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得E（$\sqrt{2}{x}_{0}$，$\sqrt{2}{y}_{0}$），F（-$\sqrt{2}{x}_{0}$，-$\sqrt{2}{y}_{0}$），联立直线AB与椭圆C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得：$2{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-8{{y}_{0}}^{2}=0$，利用韦达定理求出|AB|=$\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$，点E（$\sqrt{2}{x}_{0}，\sqrt{2}{y}_{0}$）、F（-$\sqrt{2}{x}_{0}，-\sqrt{2}{y}_{0}$）到直线AB的距离为d₁，d₂，--由此能求出当Q在椭圆C₂上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
左、右焦点分别是F₁，F₂，P为椭圆C₁上任意一点，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值为8．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2b²，
∵P是椭圆C₁上任意一点，∴|PF₁|+|PF₂|=2a，
$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}{2}$≥（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=a²，
∴2a²=8，a²=4，b²=2，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）（i）证明：由（Ⅰ）知椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，Q（x₀，y₀）为椭圆E上一点，
$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，
当y₀≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1，①}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1，②}\end{array}\right.$
②-①，整理，得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2（{y}_{2}+{y}_{1}）}$，
∵Q为线段AB的中点，∴$-\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2（{y}_{2}+{y}_{1}）}$=-$\frac{2{x}_{0}}{4{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
∴直线AB的斜率为$-\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，∴直线AB的方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}$=1，化简，得x₀x+2y₀y=2，
当${y}_{0}=0，{x}_{0}=±\sqrt{2}$时，直线AB的方程也满足x₀x+2y₀y=2，
综上，直线AB的方程为x₀x+2y₀y=2．
（ii）直线EF的方程为y₀x-x₀y=0，
联立直线EF与椭圆C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}x-{x}_{0}y=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
解得E（$\sqrt{2}{x}_{0}$，$\sqrt{2}{y}_{0}$），F（-$\sqrt{2}{x}_{0}$，-$\sqrt{2}{y}_{0}$），
联立直线AB与椭圆C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，得：$2{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-8{{y}_{0}}^{2}=0$，
x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2-4y₀²，
|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{y}_{0}}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}}$•$\sqrt{4{{x}_{0}}^{2}-8+16{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$，
设点E（$\sqrt{2}{x}_{0}，\sqrt{2}{y}_{0}$）、F（-$\sqrt{2}{x}_{0}，-\sqrt{2}{y}_{0}$）到直线AB的距离分别为d₁，d₂，
S_AEBF=S_△ABE+S_△ABF=$\frac{1}{2}|AB|（{d}_{1}+{d}_{2}）$，
${d}_{1}=\frac{|-2\sqrt{2}{{y}_{0}}^{2}+\sqrt{2}{{{x}_{0}}^{2}-2}_{\;}|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-\sqrt{2}（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$，
${d}_{2}=\frac{|-2\sqrt{2}{{y}_{0}}^{2}-\sqrt{2}{{x}_{0}}^{2}-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-\sqrt{2}（2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）-2|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$，
∴S_AEBF=$\frac{1}{2}|AB|（{d}_{1}+{d}_{2}）=\frac{1}{2}\sqrt{8{{y}_{0}}^{2}+2{{x}_{0}}^{2}}$•=$\frac{2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}+2}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=4．
故当Q在椭圆C₂上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．

点评 本题考查椭圆方程、两线段和的取值范围、椭圆性质、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．