Question

【题目】将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数.定义映射的模为:在的条件下 的最大值记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.

（1）若求；

（2）如果,计算的特征值，并求相应的；

（3）试找出一个映射，满足以下两个条件:①有唯一特征值，②.(不需证明)

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

(1)根据题目中的定义,在的条件下的最大值为,分别用表达与再分析即可.

(2) 由求得后再联立方程求中的系数.

(3)根据题意设,列出,再分析满足的关系即可.

(1)由于此时,

又因为是在的条件下 (时取最大值),所以此时有；

(2)由,可得： ,

两式相乘可得：,从而．

当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,

所以此时方程有无穷多个解,为,其中．

当时,同理可得相应的,其中．

(3)由方程组,可得从而向量与平行,从而有应满足：；

当时,f有唯一的特征值,且,

故．