Question

【题目】记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，.

（1）若，请写出的值；

（2）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；

（3）若对任意，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.

【解析】

（1）计算得到，代入计算得到答案.

（2）分别证明充分性和必要性得到答案.

（3）反证法，假设不成立，则或 得到，

，通过累加得到，与题设矛盾，得证.

（1）（1），则，

（2）数列是等差数列，设公差为

则，为定值，故数列是等差数列；

数列是等差数列，设公差为，则

和，和至少一组相等，不妨设只有

则故

故，为等差数列

同理可得只有和都相等的情况，故数列是等差数列

综上所述：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件

（3）存在

假设不存在，则或，对任意，一定存在使得符号相反.

所以数列中存在，其中

且；

因为，即

注意到：，有且仅有一个等号成立.

所以必有

所以，所以

因为，所以，所以

；；…

累加可得；

故

这与矛盾，假设不成立

故存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立