Question

【题目】已知各项均为正数的数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围；

（3）若，且，求证：数列为等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）利用数列与的关系可转化条件得，由、即可得解；

（2）由题意，根据、、分类讨论，求得数列最大的四项即可得解；

（3）转化条件得，结合即可得证.

（1）由题意得，

两式相减得，由可得，

所以数列隔项成等差数列，公差为2，

由得即，

所以，即数列的通项公式为；

（2）由题意得，从而，

所以当时，，，即；

当时，，，即；

当时，，，即；

所以，

而

又因为的解仅有3个，

所以，因此实数的取值范围为；

（3）证明：由题意得，所以，

两式相减得，①

所以，②

②一①得，

整理得即，

由和，得，

所以，即数列为等差数列.