Question

在（1+x+x²）ⁿ=D+Dx+Dx²+…+Dx^r+…+Dx^2n﹣1+Dx²ⁿ的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式系数．

（1）当n=2时，写出三项式系数D，D，D，D，D的值；

（2）类比二项式系数性质C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；

（3）求DC﹣DC+DC﹣C+…+DC的值．

　

Answer 1

解：（1）因为（1+x+x²）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，

所以．

（2）类比二项式系数性质（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：，（1≤m≤2n﹣1）

因为（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ，

所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（D+Dx+Dx²+…+Dx^r+…+Dx^2n﹣1+Dx^2n）．

上式左边x^m+1的系数为，

而上式右边x^m+1的系数为，

由（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（1+x+x²）ⁿ为恒等式，得

：，（1≤m≤2n﹣1）；

（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁴=Dx⁰﹣Dx¹+Dx²﹣Dx³+…+Dx²⁰¹⁴，

（x﹣1）²⁰¹⁴=Cx²⁰¹⁴﹣Cx²⁰¹³+Cx²⁰¹²﹣…+C．

∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x﹣1）²⁰¹⁴中x²⁰¹⁴系数为DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC，

又∴（1+x+x²）²⁰¹⁴（x﹣1）²⁰¹⁴=（x³﹣1）²⁰¹⁴

而二项式（x³﹣1）²⁰¹⁴ 的通项，

因为2014不是3的倍数，所以（x³﹣1）²⁰¹⁴ 的展开式中没有x²⁰¹⁴项，

由代数式恒成立，得

DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC=0．