Question

【题目】已知函数，且.

（1）试求的值；

（2）用定义证明函数在上单调递增；

（3）设关于的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）见解析；（3.

【解析】试题分析：（1）由，即可求出的值；（2）利用单调增函数的定义即可证明；（3）化简为，利用韦达定理可得，根据，得出的取值范围，不等式对任意的恒成立等价为在恒成立，令，根据（2）求出，即可求出的取值范围.

试题解析：(1)∵

∴

∴

（2）∵

∴

设，

∴，

∵

∴

∴

∴

又∵，

∴

∴

∴在上单调递增.

（3）∵

∴

∴

又∵

∴，故只需当，使得恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，

∴令，

由第（2）问可知在上单调递增，

同理可得在上单调递减.

∴

∴

故的取值集合是.