Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

1

2

），离心率e=

3

2

（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围；
（Ⅲ）经过椭圆左顶点A的直线交椭圆丁另一点B，线段AB的垂直平分线上的一P满足

PA

•

PB

=4，若P点在y轴上，求出P点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

1

2

），离心率e=

3

2

，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程：
（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，则直线y=kx+2代入椭圆方程，利用△＞0，求出k的取值范围；
（Ⅲ）分类讨论，利用向量的数量积公式，结合B在椭圆上，

PA

•

PB

=4，即可求出P点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

3

，

1

2

），离心率e=

3

2

∴

a2-b2 a2 = 3 4 3 a2 + 1 4b2 =1

，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）直线y=kx+2代入椭圆方程，可得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵直线y=kx+2与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-48（4k²+1）＞0，
∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

；
（Ⅲ）设P（0，y₀）
①AB⊥y轴，A（-2，0），B（2，0），则

PA

=（-2，-y₀），

PB

=（2，-y₀）
∴

PA

•

PB

=-4+y₀²=4，
∴y₀=±2

2

；
②AB与y轴不垂直时，设B（x₁，y₁）（y₁≠0），AB的中点（

x1-2

2

，

y1

2

），则
线段AB的垂直平分线方程为y-

y1

2

=-

x1+2

y1

（x-

x1-2

2

）
令x=0，则y₀=

x12-4+y12

2y1

=-

3

2

y1，
∴

PA

=（-2，

3

2

y₀），

PB

=（x₁，

5

2

y₁）
∴

PA

•

PB

=-2x₁+

15

4

y₁²=-2x₁+

15

4

•

4-x12

4

=4，
∴x₁=-

2

15

或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=

4-x12

4

=

224

225

，
∴y₁=±

4 14

15

，
∴y₀=±

2 14

5

，
综上，P点的坐标为（0，±2

2

），（0，±

2 14

5

）．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，有难度．