Question

设f（x）=sinx+sin（x+

π

6

）-cos（x+

4π

3

），x∈[0，2π]．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，
（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）=

2

，a=2，b=

6

，求角C及边c．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数的周期性及其求法

专题：

分析：（Ⅰ）f（x）解析式的后两项利用两角和与差的正弦函数、余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到结果，代入周期公式即可求出最小正周期，通过函数的单调区间求出函数的单调区间；
（Ⅱ）由f（A），求出A的值，利用正弦定理以及余弦定理即可求C与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+

π

6

）-cos（x+

4π

3

）
=sinx+

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

cosx-

3

2

sinx
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

)
∴函数f（x）的最小正周期：2π；
∵x∈[0，2π]．∴x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]．
当x+

π

4

∈[

π

4

，

π

2

]，即x∈[0，

π

4

]时，函数f（x）为单调增函数；
当x+

π

4

∈[

π

2

，

3π

2

]，即x∈[

π

4

，

5π

4

]时函数是减函数；
当x+

π

4

∈[

3π

2

，

9π

4

]，即x∈[

5π

4

，2π]时，函数f（x）为单调增函数；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）=

2

，∴

2

sin(A+

π

4

)=

2

，
∴sin(A+

π

4

)=1，∴A=

π

4

，
∵a=2，b=

6

，
由

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinB=

bsinA

a

=

3

2

，∴B=

π

3

，
∴C=π-

π

4

-

π

3

=

5π

12

，
由余弦定理可知a²=c²+b²-2cbcosA，
可得c²-2

3

c+2=0，解得C=

3

-1或c=

3

+1．
∵C-A=

5π

12

-

π

3

=

π

12

＞0
∴c＞a，
故c=

3

+1．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．