Question

【题目】已知函数 （其中 ， 为常数， 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设曲线 在 处的切线为 ，当 时，求直线 在 轴上截距的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
当 时， 恒成立，函数 的递增区间是 ；
当 时， 或 .
函数 的递增区间是 ， ，递减区间是
（2）解： ， ，
所以直线 的方程为： .
令 得到：截距 ，记 ，
，记
（∵ ），所以 递减，
∴ ，∴ ，即 在区间 上单调递减，
∴ ，即截距的取值范围是： .
【解析】（1）求复合函数的单调性要先对函数进行求导，找到导函数的零点，再根据“导函数大于0，原函数单调递增，小于0，原函数单调递减”，进一步判断函数的单调区间。
（2）先设出切线l，再根据函数的性质确定b的取值范围。设切线时要注意直线方程的选取，已知直线上一点和其斜率，可直接设点斜式；在求b时，要注意a的取值范围。
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和复合函数单调性的判断方法，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”即可以解答此题．