Question

如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4．
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）求点P到平面QAD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AD的中点M，连结PM，QM，证明PQ⊥AD，PQ⊥AB，即可证明PQ⊥平面ABCD；
（2）证明PM⊥平面QAD，可得PM的长是点P到平面QAD的距离，即可求点P到平面QAD的距离．

解答： （1）证明：取AD的中点M，连结PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM，从而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB．
又AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD∩AB=A，所以PQ⊥平面ABCD．
（2）解：连结OM，则OM=

1

2

AB=2=

1

2

PQ．
所以∠PMQ=90°，即PM⊥MQ．
由（1）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD．
所以PM的长是点P到平面QAD的距离．
在Rt△PMO中，PM=

PO2+OM2

=

22+22

=2

2

．
所以点P到平面QAD的距离为2

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定PM的长是点P到平面QAD的距离是关键．