Question

7．已知实数a，b满足2＜a＜b＜3，下列不等关系中一定成立的是（　　）

• A． a³+15b＞b³+15a
• B． a³+15b＜b³+15a
• C． b•2^a＞a•2^b
• D． b•2^a＜a•2^b

Answer 1

分析 分别构造函数f（x）=x³-15x，g（x）=$\frac{{2}^{x}}{x}$，利用导数研究其单调性，由单调性即可求得选项．

解答 解：设f（x）=x³-15x，则f′（x）=$3{x}^{2}-15=3（x+\sqrt{5}）（x-\sqrt{5}）$．
当x∈（2，$\sqrt{5}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（$\sqrt{5}，3$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
若2＜a＜b＜$\sqrt{5}$，则f（a）＞f（b），即a³+15b＞b³+15a；若$\sqrt{5}$＜a＜b＜3，则f（a）＜f（b），即a³+15b＜b³+15a．
∴A，B均不一定成立．
设g（x）=$\frac{{2}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{2}^{x}•x•ln2-{2}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{2}^{x}（xln2-1）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0，得x=log₂e∈（1，2）．
∴当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∵2＜a＜b＜3，
$\frac{{2}^{b}}{b}$＞$\frac{{2}^{a}}{a}$，即b•2^a＜a•2^b．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．