Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，令它大于0，解得增区间，令小于0，解得减区间；
（2）由条件得f′（2）=1．得到a=-2，求出g（x）的表达式，求出导数，根据条件得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解出不等式即可．

解答： 解：函数f（x）=alnx-ax-3，f′（x）=

a

x

-a（x＞0）
（1）当a=1时，f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，令f′（x）＞0，则0＜x＜1；
f′（x）＜0，则x＞1．故函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（2）由于函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
则f′（2）=1．即

a

2

-a=1，
所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2．
则g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
g'（x）=3x²+（4+m）x-2，
因为任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，
所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

37

3

＜m＜-9．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，同时考查构造函数，运用导数求解范围，属于中档题．