Question

f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且f（-1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知分析出f（x）g（x）的奇偶性，进而分析出函数的单调性和零点，可得不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答： 解：∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
故f（x）g（x）是奇函数，
又∵当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=[f（x）g（x）]′＞0，
故f（x）g（x）在（-∞，0）上为增函数，
则f（x）g（x）在（0，+∞）上也为增函数，
又由f（-1）=0，
故f（-1）g（-1）=f（1）g（1）=0，
故当x∈（-∞，-1）∪（0，1）时，f（x）g（x）＜0，
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，导数的运算性质，是函数和导数的简单综合应用，难度中档．