Question

7．已知点P在边长为2的正方形ABCD边界上运动，点M在以P为圆心，1为半径的圆上运动，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值为1+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A，B，C，D的坐标，设M（m，n），运用数量积的坐标表示可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=m（m-2）+n（n-2）=（m-1）²+（n-1）²-2，运用几何意义：距离的平方，即可得到所求最大值．

解答 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
设M（m，n），则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=（-m，-n）•（2-m，2-n）=m（m-2）+n（n-2）
=（m-1）²+（n-1）²-2
要求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值，
即求点（m，n）与点E（1，1）的距离的平方的最大值．
由图象可得，当P在点A，B，C，D时，连接PE，延长交圆于M，即为所求．
此时，|PM|=1+$\sqrt{2}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值为（1+$\sqrt{2}$）²-2=1+2$\sqrt{2}$．
故答案为：1+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的最值的求法，考查坐标法的运用以及点与圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．