Question

16．若函数f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}$的定义域为集合A，函数g（x）=lg（-x²+2x+3）的定义域为集合B．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）若集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，且B∩C=C，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}$的定义域求出集合A，根据函数g（x）=lg（-x²+2x+3）的定义域求出集合B，再求A∩（∁_RB）的集合．
（2）集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，且B∩C=C，说明：C⊆B（同时注意C可以是空集）．从而求实数m的取值范围．

解答 【解】（1）对函数f（x）=$\sqrt{\frac{6}{x+1}-1}=\sqrt{\frac{5-x}{x+1}}$，由$\frac{5-x}{x+1}≥0$，且x+1≠0，
解得：-1＜x≤5．
那么：集合A={x|：-1＜x≤5}
对函数g（x）=lg（-x²+2x+3），由-x²+2x+3＞0，
解得：-1＜x＜3
那么：集合B={x|：-1＜x＜3}．
则：∁_RB={x|x≥3或x≤-1}
所以：A∩（∁_RB）={x|3≤x≤5}
（2）集合C={x|2m-1＜x＜m+1}，
∵B∩C=C，
∴C⊆B
当C=∅时，2m-1≥m+1，解得：m≥2
当C≠∅时，要使C⊆B，需要$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＜m+1}\\{m+1≤3}\\{2m-1≥-1}\end{array}\right.$，解得：0≤m＜2
综上所述：实数m的取值范围是[0，+∞）

点评 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．