Question

17．设命题p：若2m+n=2，则双曲线$\frac{{y}^{2}}{{4}^{m}}$-$\frac{{x}^{2}}{{2}^{n}+5}$=1的焦距的最小值为6，命题q：若一圆柱存在的内切球，则此圆柱的表面积与内切球的表面积之比恰好等于圆柱的体积与内切球的体积之比，那么，下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∧q
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧（￢q）

Answer 1

分析 根据双曲线的定义和基本不等式判断命题p，设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果，判断命题q的真假，再根据复合命题的真假．

解答 解：双曲线的焦距为2c，2$\sqrt{{4}^{m}+{2}^{n}+5}$≥2$\sqrt{2\sqrt{{2}^{2m+n}}+5}$=2$\sqrt{4+5}$=6，当且仅当m=$\frac{1}{2}$n，n=1时取等号，
故命题p为真命题
设设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V_圆柱=πR²×2R=2πR³，V_球=$\frac{4}{3}$πR³．
∴$\frac{{V}_{圆柱}}{{V}_{球}}$=$\frac{2π{R}^{3}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3}{2}$，
S_圆柱=2πR×2R+2×πR²=6πR²，S_球=4πR²．
∴$\frac{{S}_{圆柱}}{{S}_{球}}$=$\frac{6π{R}^{2}}{4π{R}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∴命题q：为真命题
∴p∧q为真命题，
故选：A

点评 本题考查了命题的真假的判断，以及双曲线，基本不等式，圆柱，球的体积和表面积，属于中档题．