Question

已知且，数列满足，，（），令，
⑴求证： 是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若，求的前项和．

Answer 1

（1）详见解析；（2）当时，；当时，；
（3）.

解析试题分析：（1）根据等比数列的定义，只需证明是一个非零常数，∵=，∴是等比数列；
（2）由（1）可知，联想到是常数），可利用构造等比数列求，∴两边同时除以，得，然后讨论是否相等，当时，是等差数列，解得；当时，是等比数列，
（3）当时，，通项公式是等差数列乘以等比数列，可利用错位相减法求和.
试题解析：(1),∴是以为首项，为公比的等比数列    3分；
（2）由（1）可得，∴，
①当时，两边同时除以，可得，∴是等差数列，
          6分
②当时，两边同时除以，可得，设，，
，∴是以首项为，公比为的等比数列，
，∴.            10分
（3）因为，由⑵可得


        14分.
考点：1、等比数列定义；2、构造法求数列通项公式；3、错位相减法求数列前项和.