Question

数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

Answer 1

（1），；（2）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用是和的等差中项，得到，由求，注意的情况，不要漏掉，会得到为等比数列，利用等比数列的通项公式，求和公式直接写出和，再利用已知求出，写出等差数列的通项公式；第二问，先化简表达式，利用裂项相消法求和求，利用放缩法比较与的大小，作差法判断数列的单调性，因为数列为递增数列，所以最小值为，即，所以.
试题解析：（1）∵是和的等差中项，∴
当时，，∴
当时，，
∴ ，即                                               3分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，                                                 5分
设的公差为，，，∴
∴                                              6分
（2）                      7分
∴       9分
∵,∴                                   10分

∴数列是一个递增数列     ∴.
综上所述，  .         12分
考点：1.等差中项；2.由求；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.