Question

设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a²+b²＞2；⑤ab＞1．
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是

 

．（填序号，只有一个正确选项）

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：反证法,不等式的解法及应用

分析：本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2．”，由些推理可得到正确结论．

解答： 解：关于①，a+b＞1，可取a=

2

3

，b=

2

3

，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于②，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于④，a²+b²＞2，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；
关于⑤，ab＞1，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”．
关于③，若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的．
证明如下：假设a≤1且b≤1，
则a+b≤2．
与已知条件“a+b＞2”矛盾，
故假设不成立．
即有a，b中至少有一个大于1，故③正确．
故选③．

点评：本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例．本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题．