Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a＞0时，试求f（x）的解析式，使f（x）的极大值为

31

27

，极小值为1；
（3）若x∈[0，1]时，f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈[0，

π

4

]时，a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，只需x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，利用分离参数法，即可求出a的范围；
（2）由（1）中导函数的解析式，我们易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y=f（x）的解析式；
（3）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

解答： 解：（1）f（x）的导数f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，a＞

3

2

x恒成立，则有a≥

3

2

；  
（2）由f′（x）=0得x=0或x=

2a

3

，

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小		极大

则f（0）=b=1，f（

2a

3

）=-

8

27

a³+a-

4

9

a²+1=

31

27

，则a=1．
故f（x）=-x³+x²+1；
（3）当0≤x≤1时，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax又θ∈[0，

π

4

]，
则0≤f′（x）≤1，即0≤-3x²+2ax≤1
在0≤x≤1时恒成立．当x=0时，a∈R．
当0＜x≤1时，由-3x²+2ax≥0恒成立，得a≥

3

2

x恒成立，a≥

3

2

，
由-3x²+2ax≤1恒成立，得a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立．
又

1

2

（3x+

1

x

）的最小值为

3

，则a≤

3

．
综上所述，

3

2

≤a≤

3

．

点评：本题主要考查导数知识的运用，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．