Question

（参考公式：[ln（1+x）]′=

1

1+x

）设函数f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，求N（0）；
（2）求f（x）定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m、n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,存在型,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先对函数求导，由导函数在x＞-1时的符号判断函数的单调性，代入求N（0）的值；
（2）直接求定义域，利用f（x）单调性求解函数f（x）的最小值；
（3）假设存在符合条件的m，n则有

f(m)=m f(n)=n

，推导可判断m，n是否存在．

解答： 解：（1）当x＞-1时，N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），
N′（x）=2x+2+

1

1+x

＞0，
所以N（x）在（-1，+∞）上是单调递增，且N（0）=0；
（2）f（x）的定义域是（-1，+∞），f′（x）=1-

1-ln(x+1)

(1+x)2

，
当-1＜x＜0时，N（x）＜0，所以，f′（x）＜0，
当x＞0时，N（x）＞0，所以，f′（x）＞0，
所以，在（-1，0）上f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
所以，f_min=f（0）=0；
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
若存在m，n满足条件，则必有f（m）=m，f（n）=n，
也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有两个不等的实根m，n，
但方程f（x）=x，即

ln(x+1)

x+1

=0，只有一个实根x=0，
所以，不存在满足条件的实数m，n．

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性及求函数的最值问题，要注意分类讨论思想在解题中的运用．