【题目】已知函数(
)将
的图象向右平移两个单位,得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在
上有且仅有一个实根,求
的取值范围;
(3)若函数与
的图像关于直线
对称,设
,已知
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】 【试题分析】(1)借助平移的知识可直接求得函数解析式;(2)先换元将问题进行等价转化为
有且只有一个根,再构造二次函数
运用函数方程思想建立不等式组分析求解;(3)先依据题设条件求出函数的解析式
,再运用不等式恒成立求出函数
的最小值:
解:(1)
(2)设,则
,原方程可化为
于是只须在
上有且仅有一个实根,
法1:设,对称轴t=
,则
① , 或
②
由①得 ,即
,
由②得 无解, ,则
。
法2:由
,得,
,
,
设,则
,
,记
,
则在
上是单调函数,因为故要使题设成立,
只须,即
,
从而有
(3)设的图像上一点
,点
关于
的对称点为
,
由点在
的图像上,所以
,
于是 即
.
.
由,化简得
,设
,即
恒成立.
解法1:设,对称轴
则③ 或
④
由③得, 由④得
或
,即
或
综上, .
解法2:注意到,分离参数得
对任意
恒成立
设,
,即
可证在
上单调递增
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=
.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知函数,
,函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值;
(3)设斜率为的直线与函数
的图象交于两点
,
,
,证明:
.
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【题目】已知函数(
).
(1)当时,求函数
的极值点;
(2)若函数在区间
上恒有
,求实数
的取值范围;
(3)已知,且
,在(2)的条件下,证明数列
是单调递增数列.
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【题目】甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票,已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场(三场比赛时间不冲突),甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同,又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同,且甲乙的选择与丙的选择互不影响.
(1)求三人观看同一场比赛的概率;
(2)记观看第一场比赛的人数是,求
的分布列和期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知点
,曲线
的参数方程为
.以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)判断点与直线
的位置关系并说明理由;
(Ⅱ)设直线与曲线
的两个交点分别为
,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数f(x)的图像,并根据图像写出函数f(x)的增区间;
(2)写出函数f(x)的解析式和值域.
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