Question

【题目】已知函数（）．

（1）当时，求函数的极值点；

（2）若函数在区间上恒有，求实数的取值范围；

（3）已知，且，在（2）的条件下，证明数列是单调递增数列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的极大值点为，极小值点为;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的零点，研究导函数的符号变化，进而确定函数的极值点；（2）求导、作差、分离常数，将问题转化为， ，再转化为求函数的最值问题；（3）利用数学归纳法进行证明.

试题解析：（1）当时， ，

.

令得： .

又，且时， ， 时， .

所以，函数的极大值点为，极小值点为.

（2）因为，由，得，

即， .

又（∵）,∴.

（3）①当时， ,又 , ∴，且，

∴ .

∴，即当时结论成立．

②假设当时，有，且，则当时，

．

∴， 即当时结论成立．

由①，②知数列是单调递增数列．