Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（0）=0，

所以f（0）= =0，所以b=1，

因为f（x）= ，

所以f（﹣x）= = ．

因为f（﹣x）=﹣f（x），

所以 = ，

所以（2﹣a）（1﹣2x）=0，

所以a=2，

所以f（x）=

（2）解：因为f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，

所以f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）恒成立，

因为f（x）为R上的奇函数，

所以f（t2﹣2t）＜f（﹣2t2+k）恒成立，

因为函数f（x）在R上单调递减，

所以t2﹣2t＞﹣2t2+k恒成立，所以k＜3t2﹣2t恒成立，

又因为g（t）=3t2﹣2t在R上最小值为

k＜﹣

【解析】（1）在R上的奇函数，f（0）=0求参数；（2）不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，转化为k＜（3t2﹣2t）min求解．