Question

19．已知某同学每次投篮的命中率为$\frac{2}{3}$，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮5次．
（1）求至少有1次投篮命中的概率；
（2）设投篮命中的次数为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设5次投篮至少有1次投篮命中为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1次投篮命中的概率．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）设5次投篮至少有1次投篮命中为事件A，
则P（A）=1-（1-$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{242}{243}$，
∴至少有1次投篮命中的概率为$\frac{242}{243}$．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，
P（X=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（1-\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{10}{243}$，
P（X=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（1-\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{40}{243}$，
P（X=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（1-\frac{2}{3}）^{1}$=$\frac{80}{243}$，
P（X=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{32}{243}$

∵X～B（5，$\frac{2}{3}$），∴E（X）=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．