【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:当时, ;
(Ⅲ)确定实数的值,使得存在,当时,恒有.
【答案】(1) (2)见解析(3)
【解析】【试题分析】(I)先求函数的定义域,然后求导令导数大于零即可求得函数的递增区间.(II)构造函数,利用导数求得函数在时函数值小于零,由此证得不等式成立.(III)由(II)可知时不存在.当时,有,则,故也不存在.当时,构造函数,利用导致证得不等式成立,故.
【试题解析】
(Ⅰ), .
由得解得.
故的单调递增区间是.
(Ⅱ)令, .
则有.
当时, ,
所以在上单调递减,
故当时, ,即当时, .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,不存在满足题意.
当时,对于,有,则,从而不存在满足题意.
当时,令, ,
则有 .
由得, .
解得, .
当时, ,故在内单调递增.
从而当时, ,即,
综上, 的取值范围是.
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【题目】已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切,与y轴交于M,N两点,且.
Ⅰ求圆C的标准方程;
Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D,E,若时,求直线l的方程;
Ⅲ已知Q是圆C上任意一点,问:在x轴上是否存在两定点A,B,使得?若存在,求出A,B两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】现有4人去旅游,旅游地点有A,B两个地方可以选择,但4人都不知道去哪里玩,于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被3整除的数时去A地,掷出其他的则去B地.
(1)求这4个人恰好有1个人去A地的概率;
(2)用X,Y分别表示这4个人中去A,B两地的人数,记ξ=XY,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).
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【题目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AB=2,AA1=3,D点是AB的中点
(1)求证:BC1∥平面CA1D.
(2)求三棱锥B-A1DC的体积.
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【题目】已知函数,且在和处取得极值.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数,是否存在实数,使得曲线与轴有两个交点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据2,,如表所示:
试销单价元 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量件 | 90 | 84 | 83 | 80 | q | 68 |
已知.
求表格中q的值;
已知变量x,y具有线性相关性,试利用最小二乘法原理,求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程参考数据;
用中的回归方程得到的与对应的产品销量的估计值记为2,,当时,则称为一个“理想数据”试确定销售单价分别为4,5,6时有哪些是“理想数据”.
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【题目】某商品要了解年广告费(单位:万元)对年销售额(单位:万元)的影响,对近4年的年广告费和年销售额数据作了初步整理,得到下面的表格:
用广告费作解释变量,年销售额作预报变量,若认为适宜作为年销售额关于年广告费的回归方程类型,则
(1)根据表中数据,建立关于的回归方程;
(2)已知商品的年利润与的关系式为.根据(1)的结果,年广告费约为何值时(小数点后保留两位),年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
, .
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