Question

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

Answer 1

分析：（1）由已知可得f′（1）=0，f（1）=2，从而可求得a，b．
（2）先利用导数求出f（x）的增区间，由条件可知（m，2m+1）为f（x）增区间的子集，从而可求得m所满足的条件．

解答：解：（1）因为f′（x）=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，而函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，所以

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

，解得

a=4 b=1

．
故f（x）=

4x

1+x2

即为所求．
（2）由（1）知f′（x）=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，令f′（x）＞0，得-1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[-1，1]．
由已知得

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1

，解得-1＜m≤0．
故当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

点评：本题考查了函数的极值概念、利用导数研究函数的单调性，熟练掌握相关基础知识是解决问题的关键．