Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1），设y₃=19，y₆=13．
（Ⅰ）求数列{y_n}的前多少项之和为最大，最大值为多少？
（Ⅱ）设b_n=2 yn，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）试判断，是否存在正整数M，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出y_n-1-y_n=2log_aq为常数，从而求出{y_n}是首项为23，公差为-2的等差数列，进而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，设{y_n}的前n项和为T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（Ⅱ）b_n=2yn=2^25-2n，由此能求出S_n=b₁+b₂+…+b_n=

225

3

（1-

1

4n

）．
（Ⅲ）由y_n=2log_ax_n，得x_n=a

yn

2

，由此能求出a＞1时，不存在正整数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{x_n}的公比为q，则xn=x1qn-1，
∴y_n=2log_ax_n=2logax1qn-1=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq为常数，
∴{y_n}是等差数列，
设公差为d，由

y3=y1+2d=19 y6=y1+5d=13

，解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
设{y_n}的前n项和为T_n，
T_n=

n(23+25-2n)

2

=-n²+24n
=-（n-12）²+144，
∴当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（Ⅱ）∵b_n=2yn=2^25-2n，
∴

bn+1

bn

=

1

4

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

223(1- 1 4n )

1- 1 4

=

225

3

（1-

1

4n

）．
（Ⅲ）∵y_n=2log_ax_n，∴x_n=a

yn

2

，
又∵y_n=25-2n，∴n＞12时，y_n＜0恒成立，
当0＜a＜1时，a

yn

2

=a12.5-n，
在R上是减函数，为此当n＞12时，xn=a

yn

2

=a^12.5-n＜a⁰=1，
∴当0＜a＜1时，存在M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立；
当a＞1时，不存在正整数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评：本题考查数列的前n项和最大值的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．