Question

（1）用单调性定义证明函数f（x）=x+

1

x

在区间（0，1）上是减函数；
（2）已知函数f（x）=ax²+

1

3

x+4．（a∈R）在区间[-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解：（1）根据函数的单调性的定义进行证明；
（2）分情况进行讨论

解答： 证明：（1）任取x₁，x₂∈（0，1），则：f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=x+

1

x

在区间（0，1）上是减函数．
（2）（2）①当a=0时，f(x)=

1

3

x+4．因为

1

3

＞0，所以f(x)=

1

3

x+4在[-2，+∞）上是增函数．
②当a＞0时，二元一次函数f(x)=ax2+

1

3

x+4的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x=-

1 3

2a

=-

1

6a

∵f（x）在[-2，+∞）上是增函数∴-

1

6a

≤-2，即a≤

1

12

∴0＜a≤

1

12

③当a＜0时，二元一次函数f(x)=ax2+

1

3

x+4的图象是开口向下的抛物线．显然无法满足在[-2，+∞）上是增函数．  即a∈∅
综上所述，实数a的取值范围是0≤a≤

1

12

．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和二次函数的单调性，属于中档题．