Question

若α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，λ∈R，且（α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，4β³+sinβcosβ+λ=0，则cos（

α

2

+β）的值为（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、

  3

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：综合题,三角函数的求值

分析：由题意可得-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的两个实数解．再由

π

2

-α 和2β的范围都是[-

π

2

，

π

2

]，方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一个解，可得

π

2

-α=2β，所以

α

2

+β=

π

4

，由此求得cos（

α

2

+β）的值．

解答： 解：∵4β³+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）³-2sinβcosβ-2λ=0，即  （-2β）³+sin（-2β ）-2λ=0．
再由（α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，可得（α-

π

2

）³ +sin（α-

π

2

）-2λ=0．
故-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的两个实数解．
再由α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，所以

π

2

-α 和2β的范围都是[-

π

2

，

π

2

]，
由于函数 x³+sinx 在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增，故方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一个解，
所以，

π

2

-α=2β，所以

α

2

+β=

π

4

，所以cos（

α

2

+β）=

2

2

．
故选：D．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于中档题．