Question

18．已知函数f（x）=ax²+bx-2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（　　）

• A． lna＞-b-1
• B． lna≥-b-1
• C． lna＜-b-1
• D． lna≤-b-1

Answer 1

分析 由f（x）≥f（2），知x=2是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=0，从而得到b=1-4a，作差：lna-（-b-1）=lna+2-4a，所以构造函数g（x）=lnx+2-4x，通过导数可求得g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-b-1．

解答 解：f′（x）=2ax+b-$\frac{2}{x}$，
由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；
∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1-4a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），则g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$；
∴当0＜x＜$\frac{1}{4}$时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递增；
当x＞$\frac{1}{4}$时，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递减；
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1+ln$\frac{1}{4}$=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=lna+b+1＜0；
故lna＜-b-1，
故选：C．

点评 考查最值的概念，极值的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，通过构造函数比较两个式子大小的方法．