Question

3．已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）当a=-$\frac{1}{3}$，求函数f（x）在区间[e，e²]上的极值；
（2）当a=1时，函数g（x）=f（x）-$\frac{2}{t}$x²只有一个零点，求正数t的值．

Answer 1

分析 （1）当a=-$\frac{1}{3}$时，求导，令f′（x）=0，解得x=3，令f′（x）＞0，求得f（x）在区间[e，3）上单调递增，令f′（x）＜0，f（x）在区间（3，e²]上单调递减，可得函数f（x）在x=3时取极大值；
（2）当a=1时，求得g（x）的解析式，由题意可知：f（x）-$\frac{2}{t}$x²=0只有一个实数解，即2x²-tlnx-tx=0只有唯一正实数解，设h（x）=2x²-tlnx-tx，求导，令h′（x）=0，求得x₂=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，根据函数的单调性可知：h（x）的最小值h（x₂），因此2lnx₂+x₂-1=0，设m（x）=2lnx+x-1（x＞0），求导m′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0恒成立，m（x）=0至多有一解，由m（1）=0，则x₂=1，即$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$=1，即可求得t的值．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{3}$时，求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{3-x}{3x}$（x∈[e，e²]），…（1分）
由f′（x）=0，解得x=3，
当x∈[e，3）时，f′（x）＞0，f（x）在区间[e，3）上单调递增，
当x∈（3，e²]时，f′（x）＜0，f（x）在区间（3，e²]上单调递减，…（3分）
∴f（x）在区间[e，e²]上只有极大值，无极小值，且f（x）_极大值=f（3）=ln3-1，…（5分）
（2）当a=1时，g（x）=f（x）-$\frac{2}{t}$x²，只有一个零点，等价于方程f（x）-$\frac{2}{t}$x²=0只有一个实数解，
即2x²-tlnx-tx=0只有唯一正实数解．
设h（x）=2x²-tlnx-tx，则h′（x）=4x-$\frac{t}{x}$-t=$\frac{4{x}^{2}-tx-t}{x}$，
令h′（x）=0，即4x²-tx-t=0，
∵x＞0，t＞0，
解得：x₁=$\frac{t-\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，x₂=$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$，…（7分）
当x∈（0，x₂）时，h′（x）＜0，则h（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，h′（x）＞0，则h（x）在（x₂，+∞）上单调递增；
∴h（x）的最小值h（x₂），…（8分）
要使得方程2x²-tlnx-tx=0只有唯一实数解，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（{x}_{2}）=0}\\{h′（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}^{2}-tln{x}_{2}-t{x}_{2}=0}\\{4{x}_{2}^{2}-t{x}_{2}-t=0}\end{array}\right.$，得
2tlnx₂+tx₂-t=0，
∵t＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0，…（10分）
设m（x）=2lnx+x-1（x＞0），求导m′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0恒成立，
故m（x）在（0，+∞）单调递增，
m（x）=0至多有一解，
又∵m（1）=0，
∴x₂=1，即$\frac{t+\sqrt{{t}^{2}+16t}}{8}$=1，
解得：t=2，
正数t的值2．…（12分）

点评 本题考查函数的导数，极值，最值及单调性，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查构造法求函数的最值，考查计算能力，属于难题．