Question

如图，在四棱锥A—BCC₁B₁中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC₁B₁所在平面互相垂直，D为CC₁的中点．

(1)求证：BD⊥AB₁；
(2)求二面角B—AD—B₁的余弦值．

Answer 1

（1）见解析   （2）

(1)证明　取BC中点O，连接AO，OB₁．
△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面
BCC₁B₁＝BC，AO?平面ABC，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥BD．
∵正方形BCC₁B₁中，O，D分别为BC，CC₁的中点，
∴OB₁⊥BD．又AO∩OB₁＝O，
BD⊥平面AOB₁，∴BD⊥AB₁．

(2)解　取B₁C₁中点E，以O为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，不妨设BC＝2．
由题意知A(0,0，)，B(1,0,0)，D(－1,1,0)，B₁(1,2,0)，则＝(1,0，－)，＝(－2,1,0)，＝(1，－1，)，＝(2,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面ADB₁的法向量，

则，
即，
可取n＝(－1,2，)，
同理，设m是平面ABD的法向量，可取m＝(1,2，)，
∴cos〈n，m〉＝＝，
∴二面角B—AD—B₁的余弦值为．