Question

12．若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n，记b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\{\frac{b_n}{2^n}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）$6{S_1}=1-2{a_1}⇒{a_1}=\frac{1}{8}$，6S_n-1=1-2a_n-1（n＞1）①
6S_n=1-2a_n②
②-①得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{4}（n＞1）$，
所以{a_n}是等比数列，${a_n}=\frac{1}{8}•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^{2n+1}}$，b_n=2n+1．
（2）设$\{\frac{b_n}{2^n}\}$的前P项和为T_n，由 （1）$\frac{b_n}{2^n}=\frac{2n+1}{2^n}$，
则${T_n}=\frac{3}{2^1}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n+1}{2^n}$，
故$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+…+\frac{2n-1}{2^n}+\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2}+2（{\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}+（{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．