Question

2．已知数列{a_m}满足${a_1}=\frac{3}{2}$，且a_m+1=3a_m-1，${b_m}={a_m}-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求证：数列{b_m}是等比数列；
（Ⅱ）若不等式$\frac{{{b_m}+1}}{{{b_{m+1}}-1}}≤m$对?n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_m+1=3a_m-1，变形为${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$，可得b_n+1=3b_n，即可证明．
（Ⅱ）由（1）知，b_n=3^n-1．由不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m，代入化为$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$≤m，令c_n=$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$根据不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m对?m∈N^*恒成立，可得m≥（c_n）_max．即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_m+1=3a_m-1，∴${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$，
∵${b}_{n}={a}_{n}-\frac{1}{2}$，
∴b_n+1=3b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为${b}_{1}={a}_{1}-\frac{1}{2}$=1，公比为3．
（Ⅱ）解：由（1）知，b_n=3^n-1．
由不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m，即$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{n}-1}$≤m，即$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$≤m，
令c_n=$\frac{1}{3}+\frac{4}{3（{3}^{n}-1）}$，
∵不等式$\frac{{b}_{n}+1}{{b}_{n+1}-1}$≤m对?n∈N^*恒成立，∴m≥（c_n）_max．
由于数列{c_n}为减数列，∴（c_n）_max=c₁=1，
∴m≥1．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、恒成立问题的等价转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题