Question

14．若f（x）为二次函数，-1和3是方程f（x）-x-4=0的两根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），由题意和韦达定理待定系数可得；
（2）问题转化为m＜x²-3x+1在区间[-1，1]上有解，只需m小于函数g（x）=x²-3x+1在区间[-1，1]上的最大值，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，
故方程f（x）-x-4=0可化为ax²+（b-1）x-3=0，
∵-1和3是方程f（x）-x-4=0的两根，
∴由韦达定理可得-1+3=-$\frac{b-1}{a}$，-1×3=$\frac{-3}{a}$，
解得a=1，b=-1，故f（x）的解析式为f（x）=x²-x+1；
（2）∵在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，
∴m＜x²-3x+1在区间[-1，1]上有解，
故只需m小于函数g（x）=x²-3x+1在区间[-1，1]上的最大值，
由二次函数可知当x=-1时，函数g（x）取最大值5，
∴实数m的取值范围为（-∞，5）

点评 本题考查函数解析式求解的方法，涉及韦达定理和二次函数区间的最值，属中档题．