Question

9．设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则方程[f（x）]²=x的最大实数根的值为$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程的关系进行转化求解即可．

解答 解：由图象知，直线方程设y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{0+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
则AB的方程为y=x+1，0≤x≤1，
∵函数f（x）是偶函数，
∴当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，
则f（x）=f（-x）=-x+1，-1≤x≤0
当x≥0时，由[f（x）]²=x得f（x）=$\sqrt{x}$，
∵函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，
∴作出函数f（x）和g（x）=$\sqrt{x}$的图象如图
由图象知f（5）=f（3）=f（1）=2，
g（3）=$\sqrt{3}$＜2，g（5）=$\sqrt{5}$＞2，
则当3≤x≤4时，方程f（x）=$\sqrt{x}$取得最大根，
当3≤x≤4时，-1≤x-4≤0，
则f（x）=f（x-4）=-（x-4）+1=-x+5，
由f（x）=$\sqrt{x}$得-x+5=$\sqrt{x}$，
平方得x²-10x+25=x，
即x²-11x+25=0，
得x=$\frac{11+\sqrt{1{1}^{2}-4×25}}{2}$=$\frac{11+\sqrt{21}}{2}$（舍）或x=$\frac{11-\sqrt{1{1}^{2}-4×25}}{2}$=$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$
故答案为：$\frac{11-\sqrt{21}}{2}$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．