Question

2．已知在${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^n}$的展开式中，只有第5项二项式系数最大．
（1）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由；
（2）求展开式的所有有理项．

Answer 1

分析 （1）先求出n=8，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数0，求出k的值，即可判断是否有常数项
（2）分别令x的指数为整数，即可求出有理项．

解答 解：（1）项式系数最大的只有第5项C_n⁴ 最大，n=8
∴T_k+1=C₈^k（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k=（-1）^k2^-kC₈^kx${\;}^{\frac{16-3k}{4}}$，
若存在常数项，则$\frac{16-3k}{4}$=0，
即3k=16，又k∈N，这不可能，
∴没有常数项；
（2）：若T_k+1为有理项，当且仅当$\frac{16-3k}{4}=0$为整数，
因为0≤k≤8，k∈N，所以k=0，4，8，
即展开式中的有理项有3项，它们是${T_1}={x^4}，{T_5}=\frac{35}{8}x，{T_9}=\frac{1}{256}{{x^{-2}}}^{\;}$．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题