Question

17．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于P，Q两点，设点P关于x轴的对称点为点M，直线MQ与x轴交于点N，若△PQN的面积4$\sqrt{3}$，则实数p=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先确定N的坐标，再根据△PQN的面积4$\sqrt{3}$，即可得出实数p的值．

解答 解：设P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），M（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，-y₁），
设直线PQ的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px可得y²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$py-p²=0，∴y₁y₂=-p²，y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p．
k_MQ=$\frac{2p}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，∴直线MQ的方程为y+y₁=$\frac{2p}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）
令y=0可得x=-$\frac{p}{2}$．
∴△PQN的面积S=$\frac{1}{2}$×p×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×p×$\sqrt{\frac{4}{3}{p}^{2}+4{p}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴p=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、过焦点的弦的性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．