Question

14．已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l₁，l₂分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．

解答 （Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
  F（$\frac{1}{2}$，0），准线为 x=-$\frac{1}{2}$，
 S_△PQF=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，
设直线AB与x轴交点为N，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$|FN||y₁-y₂|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴x_N=1，即N（1，0）．
设AB中点为M（x，y），由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=2{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=2{x}_{2}}\end{array}\right.$得${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$=2（x₁-x₂），
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{y}{x-1}$，
∴$\frac{y}{x-1}$=$\frac{1}{y}$，即y²=x-1．
∴AB中点轨迹方程为y²=x-1．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．