Question

12．已知y=f（x）（x∈D）（D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①f（x）在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）在区间[a，b]的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数，若y=k+2$\sqrt{x}$（k＜0）是闭函数，则实数k的取值范围是（-1，0）．

Answer 1

分析 根据闭函数的定义，结合函数的单调性，建立方程关系，转化为一元二次函数进行求解即可．

解答 解：y=k+2$\sqrt{x}$（k＜0）的定义域为[0，+∞），且函数为增函数，
若y=k+2$\sqrt{x}$（k＜0）是闭函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{k+2\sqrt{a}=a}\\{k+2\sqrt{b}=b}\end{array}\right.$，
即a，b是方程k+2$\sqrt{x}$=x的两个不相同的正根，
即k=x-2$\sqrt{x}$=（$\sqrt{x}$）²-2$\sqrt{x}$=（$\sqrt{x}$-1）²-1=，
设t=$\sqrt{x}$，则t≥0，
则函数g（t）=（t-1）²-1，
∵x≥0，∴g（t）的图象如图：
若k=g（t）有两个不同的正根，
则-1＜k＜0，
即实数k的取值范围是（-1，0），
故答案为：（-1，0）．

点评 本题考查新定义一元二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力根据条件转化为一元二次函数是解决本题的关键．